Hungerford4章読む（12/20）で出た、加群準同型のテンソル積について考えます。そこでは加群に対して、と、の違いが問題となってました。 まず、とすると、からの平衡写像が存在するので、の普遍性からが一意に得られます。この対応が平衡写像になることを確…

演習4.4.12cがすごく難しかったので記録。 取り合えず主張を書きます。 演習4.4.12c を体。無限集合上の自由加群に対し、を写像の集合としたとき、 この演習自体は、の次元が無限次元においてその双対と等しくない（）ことを示すもので、どうやらErdős–Kapla…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」25日目の記事ではありません。2022年ですね。さあ延長戦の始まりだ 4.7節のタイトルは「ALGEBRAS」…本のタイトル「Algebra」を回収した感じで熱いですね。日本語では「代数」よりも「（結合的）…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」25日目の記事です。最終日！ いよいよ6節も大詰めです。T6.6～6.9によって有限生成加群を素数のべきの位数の巡回加群に分解しましたが、次に有限生成アーベル群の時と同様にもう1つの分解を得ま…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」24日目の記事です。今夜はクリスマス～ 今日読む3つの定理（T6.6、6.7、6.9）によって主イデアル整域上の単位的な有限生成加群の1つ目の分解を得ます。 まずがトーション部分加群と自由加群によ…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」23日目の記事です。まだまだまだまだ終わんないよ♫ 引き続き（というか6節通して）加群は単位的です。 T6.4では群の要素の位数やアーベル群のトーション部分群の加群版を作っていきます。整域上…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」22日目の記事です。24日は一人ワインを飲んでみたら全く動けなかったです…。25日は終わりましたが俺たちのアドカレはこれからだ！ 6節は主イデアル整域上の有限生成加群の構造について述べるよう…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」21日目の記事です。 5節の最後は（単位的）自由加群におけるテンソル積のお話をしています。以下では単位的環を考えます。 単位的右加群と基底上の自由左加群に対して、T5.11は任意のがと一意に…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」20日目の記事です。記号の量がどんどん膨らんできてTeXがおそろしいことになってきた…。 しばらく前回導入したテンソル積についての命題が続きます２ T5.7は、単位的環と単位的加群について、加…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」19日目の記事です。どこかで追い付きたいですがもう4日しかない… しばらく前回導入したテンソル積についての命題が続きます。 P5.4により、左加群の右完全列と右加群に対して、がアーベル群の完…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」18日目の記事です。もうカレンダーの体をなしていませんが、実はタイトルは「今年中」なので6日の猶予があったんですね。やった～！ 5節はテンソル積です。テンソルという語は色んなところで目に…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」17日目の記事です。当日途中まで書いていたのがあったのですがPCが再起動して消えてしまいしばらくやる気がなくなっていました。今から3日分を消化します。 環上の左加群の双対は準同型の集合で…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」16日目の記事です。久々に当日に書き始められた。 アーベル群が環の左加群であることを、右加群であることをと書くことにします。左加群かつ右加群であって、を満たすアーベル群を両側加群と呼び…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」15日目の記事です。 前回で一般には加群の短完全列がHomの短完全列を誘導しなさそうだと言いましたが、今回はHomの短完全列が構成される例を見て行きます。また、前回に引き続き大文字などは、特…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」14日目の記事です。14日目…？ 今日はT4.3まで読みました。前回のが完全列に対してどう振る舞うかを見ていきます。大文字などは、特に何も言わなければ環上の加群を指すことにします。 T4.2は完全…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」13日目の記事です。13日目です。 3節の終わりから急にほむほむしていましたが、4節の前半ではそのについて調べていくようです。 を加群準同型の集合と定義します。これが和についてアーベル群で…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」12日目の記事です。 今日は3節の終わりまで読みました。 単位的環やアーベル群は加群とみなせるので、において和が定義できて、この和によってはアーベル群となります（一般にアーベル群の準同型…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」11日目の記事です。完全に遅刻ですね。12日目の分も今日中に書きます…。 今更だけど、本の内容と私の（誤りがたくさん入ってるだろう）考えが分離されていないので、いないとは思うけど読む人は…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」10日目の記事です。昨日知ったのですが、アドカレは（子供が起きる）朝までに投稿しないとだめらしく、どうやら今の状態はほぼ丸一日遅刻しているようです…。 圏の（対象と射で決まる）概念は射…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」9日目の記事です。 今日はT3.5まで読みました。3節は図式が多いですね。かしこくなった気分になれるのでいいのですが、書くのが大変ですね…。図式の書き方を検索したのですが理解できなかったの…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」8日目の記事です。 一回仮眠して0時回ってからやるのが癖になっててよくないですね…。 今日は4.2の終わりまで読みました。以下では可除環上の自由加群、すなわちベクトル空間を考えます。 ベクト…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」7日目の記事です。 すっかり寝てました。まだ12/7の28時です。 今日はCorollary 2.12まで読みました。2節も4日ペースですね。 P2.9は不変次元性を持つ環上の自由加群が、基底のランクが等しいこ…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」6日目の記事です。 今日はDefinition 2.8まで読みました。以下では環は単位的とします。 最初に目に入るのが「自由加群の基底の濃度は一般に定まらない」というかなり絶望的な文ですが、T2.6で基…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」5日目の記事です。 鬼滅の刃を見ていたので少し遅れました。 4日目までの内容をノートに書いていってたのですが、T1.5(ii)についてあまり他で見当たらない記述を見たので最初に少し書きます。以…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」4日目の記事です。 今日は4.1の終わりまで読みました。明日こそノートを書きます。 演習については（そもそもここにほとんど何も書いてないので誰に言い訳してるのかわかりませんが）本文中に出…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」3日目の記事です。 まだ12/3の28時なのでセーフ！ 今日はTheorem1.15まで読みました。証明？大体アーベル群だから許して 加群の族の直積と直和を定義して、これが圏の積・余積となることを言って…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」2日目の記事です。 今日はTheorem1.10まで読みました。 …嘘です。証明が追えてません。大体アーベル群だから頑張ってね！と言って定理の証明がことごとく演習問題になってる…。かと言っていきな…

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」1日目の記事です。 ここでHungerfordとは、Hungerfordという人が書いたAlgebraという本のことです。 長らく一向に読む手が進まなかったのですが、今回アドカレの力を借りて一気にページを進めよ…