Hungerford4章読む（12/16）

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」16日目の記事です。久々に当日に書き始められた。

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アーベル群が環の左加群であることを、右加群であることをと書くことにします。左加群かつ右加群であって、を満たすアーベル群を両側加群と呼び、と表記します。

12/12その2で、アーベル群は一般に加群にならないと書きました。さらにの場合を考えては左加群になるとも言いました。T4.8で、より様々な場合にHomがどのような加群の構造を持つかが一気に述べられています。
まずについて、がの作用によって右加群になります。さらに左加群準同型が誘導する写像が右加群準同型になります。また圏でも作るのか…？前半の主張は加群の定義を確かめていけばよくて、についてはT4.1でアーベル群の準同型なのはわかっているので作用に関してうまくいくことを計算すれば大丈夫です。
同様にについて、が作用によって左加群になることと、左加群準同型が誘導するが左加群準同型になることが言えます。

特別な例として、加群の場合を示します。例えばが可換の場合は任意の上加群はとなるような加群であり、はによってとなる加群になります。

自身を加群とみなすと、左加群に対してやもそれぞれ左加群、右加群となります。12/12その2で、単位的環と単位的環についてが単射であることを用いましたが、実はこれは同型になります。すなわちとを考えると、これらが互いに逆写像の左加群準同型になります（T4.9）。

はどのようなものでしょう…。というのは複雑な構造から単純な構造への写像なので、どのように潰せばいいのかを考えるにはについて何かわかってる必要を感じますね…。少し気になりますが詳細は恐らく後に出ることを期待して、とりあえずのことをの双対と言い、その要素を線形関数と言います。T4.8からの議論は右加群でもよくて、右加群の双対は左加群となります。

†デュアル†といういかつい名前ですが所詮はHomなので、T4.1から言ってきた話を適用することができます（T4.10）。すなわち左加群準同型が右加群準同型を誘導し（作用は）、加群の同型が成立します（T4.7）。さらにが可除環のとき、左ベクトル空間の完全列があるとき、右ベクトル空間の完全列が誘導されます。
この証明について、本ではT4.5などを見ろと言っていますが、わからなかったので別の方法でいきます。T4.6の形が示したいものと同じなので、が単射的であることが言えたらよさそうです。T2.4より可除環上の加群は自由加群で、係数環は任意の上加群の直和因子となります（T2.1）。P3.13よりが単射的となるので、T4.6を使うことができます。

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明日も頑張ります。