Hungerford7章読む（12/4）

これは「今年中にHungerford7章読むぞ Advent Calendar 2022」4日目の記事です。
まあアドベントカレンダーの記事ですって書いてるけど、Adventarには登録してない（というか削除した）んですが…

7.2節では対等*1な行列について、成分の環が可除環や主イデアル整域のときに調べていくようです。また、対等な行列のいい感じの形（標準形）が得られます。この辺は、2章の有限生成アーベル群の表示を得たときにその直和分解を計算するところでちらっと出てきたので印象的でした。

T4.2.1により、単位的環 $R$ の自由加群は $R$ （のコピー）の直和と同型でした。ここまで $n$ 個の要素からなる順序付き基底を持つ自由加群に対してその（行）ベクトルを考えたりしてましたが、 $R ^n = R \oplus ... \oplus R$ に対して標準的な順序付き基底を ${\epsilon}_1 = (1_R , 0 , ... , 0) , ... , {\epsilon}_n = (0 , ... , 0 , 1_R)$ と定義します。左 $R$ 加群準同型 $f: R ^n \to R ^m$ の標準的な順序付き基底に対する行列 $A \in \mathrm{Mat}_{nm} R$ を考えると、 $A$ の行ベクトルで生成される左加群 $R ^m$ の部分加群を行空間といい、これは $\mathrm{Im} f$ と同型になります。左右を取り換えると、 $A \in \mathrm{Mat}_{nm} R$ の列ベクトルで生成される右加群 $R ^n$ の部分加群を列空間といいます（D2.2）。

以降しばらくは可除環 $D$ 上の行列を考えます。
可除環上の自由加群（ベクトル空間）には次元が定まります。線形写像 $f: E \to F$ について、 $\mathrm{Im} f \subset F$ や $\mathrm{Ker} \subset E$ の次元として階数（rank）と退化次数（nullity）が定義されます（D2.1）。D2.2で定めた行空間や列空間の次元のことを行階数・列階数といいます。この時、左加群準同型の像がその行列の行空間と同型なことから、準同型の階数と行列の行階数が等しいことがわかります（T2.3）。

あまり進んでいませんがぼんやりしてたら24時を優に超えてる（今日起きたのが19時）のでここで終わります。

アドカレやると一日の進みが早くなる…というか他に何もできなくなる（これさえやっとけば一日頑張った気になるので他のやる気がなくなる）しやめたほうがよかったかも…

明日も頑張ります。

*1:前までは同値と書いてたけど同値関係と混同するので…