Hungerford4章読む（12/7）

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」7日目の記事です。
すっかり寝てました。まだ12/7の28時です。

今日はCorollary 2.12まで読みました。2節も4日ペースですね。

P2.9は不変次元性を持つ環上の自由加群が、基底のランクが等しいことと同型が同じことになる、といういい性質を持つと言ってます。証明は…「P2.1.3を見ろ」…。先に進むとこういうのばっかりになるんでしょうか。
$\Rightarrow$ は自由対象の普遍性からでいいと思います。 $\Leftarrow$ は同型写像を置いて（単位的加群なので）具体的に計算すると、一方の基底からの同型像がもう一方の基底になることが確かめられるっぽいです。はい次！

L2.10は $X$ が生成する自由 $R$ 加群 $F$ と $R$ のイデアル $I$ から自由 $R/I$ 加群 $F/IF$ を作っています。 $F/IF$ が射影 $\pi : F \to F/IF$ を使って $\pi (X)$ によって生成されることは、 $F/IF$ の元を変形することですぐにわかります。 $\pi (X)$ が基底になることは、 $\sum_{i} r_i x_i + IF = 0$ のとき、 $r_i = 0$ となることを示せばいいですが、係数環が $R/I$ なことを思い出すと $r_i \in I$ を言えばいいことに注意します。

P2.11とC2.12は関が不変次元性をもつような条件について言ってます。特にC2.12後半の、単位的な可換環は不変次元性を持つというのはかなりよさそうですね（追記20220514：不変次元性を持たない例Ex4.2.13をみてもこれは非可換）。極大イデアルで射影を取るとそれが全準同型になるのでP2.11とT2.7が使えます。
C2.12前半部分の証明も同様にすぐできると書いていますが「R ... has a homomorphic image which is a division ring」の部分がわからなくて朝まで悩みました。これは「 $R \twoheadrightarrow D$ となる可除環 $D$ が存在する」と読んでいいでしょうか？それなら証明できるのですが、「可除な準同型像 $f(S) \subset R$ 」という意味だとちょっとどうやって証明するのかわからないです。後半の命題につながらないので違うと思いますが…

単射の $\hookrightarrow$ は矢印に包含をつけているという意味で納得できますが、そうなら $\rightarrowtail$ は全射になるべきだと思うし、 $\twoheadrightarrow$ が全射と言うなら、単射は「 $- \subset \to$ 」のような記号になって欲しいと思います。

明日今日も頑張ります。