Hungerford4章読む(12/12)その2
これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」12日目の記事です。
今日は3節の終わりまで読みました。
単位的環やアーベル群は加群とみなせるので、において和が定義できて、この和によってはアーベル群となります(一般にアーベル群の準同型であれば成立)。さらにの左作用をとすることでは(単位的)左加群となります。の中の掛け算が逆向きになっているのは積と作用の結合法則()を満たすためです(このような計算を考えるためにの定義域は両側から積が可能でなければならず、例えば左加群準同型は一般に加群とはならない)。
特にが可除なアーベル群のとき、左加群は単射的になります(L3.11)。証明はL3.8を用います。つまり任意のの左イデアルからの加群準同型がに拡張できることを示します。細かい流れは未来の自分に任せますが、との間を、からはとして、逆にからはとすることで移し合えることと、が単射的加群なので、をに拡張できることを用いています。
残りで射影的加群の定理P3.12、P3.13(それぞれC3.3、T3.4の単射的版)を証明しています。
先にP3.13を見ます。(i)と(ii)は単にC3.3の射を反転させればよさそうです。自由加群の双対版は存在しないので、(iii)ではその代わりにを部分加群に持つを考えています。証明も比較的シンプルなので省略します。
P3.12の証明はかなり技巧的に見えます。射影的加群にとっての自由加群のような便利な例が存在しないため、を埋め込む射影的加群を自分で構築する必要があります。
L3.10より単位的加群は(アーベル群なので)可除アーベル群に埋め込まれます()。写像の合成を考えるとが誘導され、これが単射加群準同型になります。加群準同型は(アーベル群の準同型なので)加群準同型なことから(厳密には部分加群であることを示す)。 から加群への加群準同型はよりの行先により唯一に定まることから、をと定義すると、これは単射(な加群準同型)となる。これらの写像を合成すると、からへの埋め込みが構成され、L3.11よりが射影的加群であることから証明が完了します。
二重括弧を書くと勝手に注釈になるので困ってましたが、スペースを入れるといいようです。
明日も頑張ります。