Hungerford4章読む（12/23）

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」21日目の記事です。

5節の最後は（単位的）自由加群におけるテンソル積のお話をしています。以下では単位的環を考えます。

単位的右 $R$ 加群 $A$ と基底 $Y$ 上の自由左 $R$ 加群 $F$ に対して、T5.11は任意の $u \in A {\otimes}_R F$ が $u = {\sum}_{i=1}^n (a_i \otimes y_i) , a_i \in A , y_i \in Y$ と一意に書けると言っています。すなわち、適当な $0 \otimes y$ を付け足すことで $u = v = {\sum}_{i=1}^n (b_i \otimes y_i)$ と書けたとき、 $a_i = b_i$ となるという意味です。
証明ではまず $\theta : A {\otimes}_R F \cong {\sum}_{y \in Y} A_y$ を考えます。 $A_y$ は $A$ のコピーであり、 $a_y \in A_y$ が $a \otimes y$ と対応するイメージです。 $Y$ が線形独立なので全射 $R \to Ry, r \mapsto ry$ は（核が自明なので）同型となり、T5.7と合わせて $A {\otimes}_R Ry \cong A {\otimes}_R R \cong A = A_y$ となります。 $A {\otimes}_R F = A {\otimes}_R {\sum}_{y \in Y} Ry \stackrel{T5.9}{\cong} {\sum}_{y \in Y} (A {\otimes}_R Ry) \cong {\sum}_{y \in Y} A_y$ により、同型 $\theta$ が得られました。 $\theta (a \otimes z)$ の成分は $(a \otimes z) \stackrel{T1.5}{\mapsto} a \otimes 1_R \stackrel{T5.7}{\mapsto} a 1_R = a \in A_z$ となるので、自然な単射 ${\iota}_z : A_z \to \sum A_y$ によって $\theta (a \otimes z) = {\iota}_z (a)$ となります。したがって任意の元について $\sum A_y \ni v = {\iota}_{y_1} (a_1) + ... + {\iota}_{y_n} (a_n) = \theta (a_1 \otimes y_1) + ... + \theta (a_n \otimes y_n) = \theta (a_1 \otimes y_1 + ... + a_n \otimes y_n)$ と唯一書くことができ、後は ${\theta}^{-1}(v)$ とすればいいです。

特別な場合として、 $A_R , _R B$ がそれぞれ基底 $X, Y$ を持つ自由 $R$ 加群のとき、 $A {\otimes}_R B$ が自由（右） $R$ 加群となり、その基底は $W = \lbrace x \otimes y | x \in X , y \in Y \rbrace , |W| = |X||Y|$ となります（C5.12）。括弧で右と書いたのは、実は任意の自由左加群は自由右加群でもあるからです。これは $R$ （やそのコピーの直和）が $R-R$ 両側加群であることから従います。ややこしいですが、非可換な自由加群 $R$ は両側加群にも関わらず、自由 $R-R$ 加群ではありません。すなわち $R-R$ 加群の圏（射は群準同型で $f(ras)=rf(a)s$ ）において、 $X = \lbrace 1_R \rbrace$ 上の自由対象になりません。任意の $A,f(1_R)=a$ に対して $ar=\bar{f}(1_R r)=\bar{f}(r)=\bar{f}(r 1_R)=ra$ ですが、この時結合法則を考えると $R$ が可換になってしまいます。 $R {\otimes}_{\mathbb{Z}} R$ とするとT5.5よりこれは $R-R$ 加群となり、 $(r,s)=r(1_R ,1_R)s \mapsto ras$ のように左右の作用をうまく区別することで自由対象となります（雑ですが、深入りしてこれ以上本筋から逸れたくないので…）。
T5.11の証明を用いると、群の同型 $\theta : A {\otimes}_R B \cong {\sum}_{y \in Y} A_y = {\sum}_{y \in Y} A = {\sum}_{y \in Y} ({\sum}_{x \in X} xR)$ が言えます。さらに自由加群 $B$ が $R-R$ 加群なことからT5.5より $A {\otimes}_R B$ は右加群であり、 $\theta$ が加群準同型であることは $(a \otimes y)s \stackrel{右R加群}{=} a \otimes (ys) \stackrel{R-R加群}{=} a \otimes (sy) \stackrel{テンソル積}{=} (as) \otimes y \mapsto {\iota}_y (as) = {\iota}_y (a)s$ からわかります（追記20220813： $R$ との同型を考えると、 $rys = rsy$ とできる）。特に $\theta(W) \ni \theta (x \otimes y)={\iota}_y (x)$ は自由加群 ${\sum}_{y \in Y} ({\sum}_{x \in X} xR)$ の基底になります。

5節最後の命題C5.13は、 $S$ の単位的部分環 $R \ni 1_S$ に対して、 $F$ が $X$ 上自由左 $R$ 加群のとき、 $S {\otimes}_R F$ が自由左 $S$ 加群であり、基底が $\lbrace 1_S \otimes x | x \in X \rbrace$ となると言っています。
まず $S {\otimes}_R F$ が定義できて左 $S$ 加群となることは $S$ が $S-R$ 加群であることからわかります。T5.11の同型 $\theta : S {\otimes}_R F \cong {\sum}_{x \in X} S_x$ によって $\theta (1_S \otimes z) = {\iota}_z (1_S)$ が得られて、C5.12と同様にしてこれが加群（準）同型であることが言えます。 $\lbrace {\iota}_x (1_S) | x \in X \rbrace$ が ${\sum}_{x \in X} S_x$ の基底となります。