Hungerford7章読む（12/3）

これは「今年中にHungerford7章読むぞ Advent Calendar 2022」3日目の記事です。
超眠い。

1日目の記事で、準同型の行列が行ベクトルに右から作用する形になっていることについて「よく見る形とは縦横が逆ですが」と文句を書きましたが、どうやら7.1節の残りはそのことを議論するようです。

（非可換）環 $R$ について、今まで左加群を考えてた*1ところを右加群にしてみようという感じです。このとき、基底 $U$ が $n$ 個の要素を持つ自由右 $R$ 加群 $E$ から基底 $V$ が $m$ 個の要素を持つ自由右 $R$ 加群 $F$ への準同型 $f$ は、 $n \times 1$ 行列（列ベクトル）に $m \times n$ 行列を左から作用させて $m \times 1$ 行列を得ることに対応します。
このときT1.2～T1.4の対応物がT1.9(i)～(iii)で示されています。特に可換環のときは単に転置を取ればいいですね。T1.4で反同型とかいう~~めんどくさい~~のを考えましたが、今回は関数の合成と行列の積で順番が逆転しないので素直に同型です。

1節の最後は双対加群の間の準同型を考えます。基底 $U$ が $n$ 個の要素を持つ自由左 $R$ 加群 $E$ から基底 $V$ が $m$ 個の要素を持つ自由左 $R$ 加群 $F$ への準同型 $f$ の $U, V$ に対する行列 $A$ が、双対右加群の間の準同型 $\bar{f} : F ^{*} \to E ^{*}$ の双対基底 $U ^{*} , V ^{*}$ に対する行列にもなるということらしいです。特に $R$ が可換環ならば、上でもやったように転置を取ることで加群の左右を揃えて、 $A ^t$ は双対左加群の間の準同型 $\bar{f} : F ^{*} \to E ^{*}$ になります。
証明は、基底が有限なので具体的に双対基底を取ってきて双対加群を作れる（T4.4.11）ので、計算すればいいです。

おっ1節が終わった、いいペースですね（24時をまたぎながら）。

明日も頑張ります。

*1:私は手抜きしてたのでちゃんと明示してなかった気がするけど…