Hungerford4章読む（12/4）

Hungerford4章

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」4日目の記事です。

今日は4.1の終わりまで読みました。明日こそノートを書きます。
演習については（そもそもここにほとんど何も書いてないので誰に言い訳してるのかわかりませんが）本文中に出たもののみやるつもりです。最初の頃に全部やろうとして0章すら超えることができず挫折したので…。

今日は完全列を勉強しました。名前がかっこいい。図式も何かかっこいい。空飛びそう。
直和とか剰余加群の例を見ると A \overset{f}{\rightarrow} B \overset{g}{\rightarrow} Cは、 gによって Bが失ったものを fが保持してると考えればいいのでしょうか。 fが運んできたものは gによって失われる、と読むほうが素直そうですが、 fの気持ちを考えると切ないので…。

余像と余核というものも新しく出てきました。 A \overset{f}{\rightarrow} Bとしたとき余像 \mathrm{CoIm} f = A / \mathrm{Ker} fですが、 Aから fの像を見ようとすると核以外を考えることになるということでしょうか。余核 \mathrm{CoKer} f = B / \mathrm{Im} fも同様に Bから核を見ようとしている？

L1.17は短5項補題です。どうやら5項補題というのがあって、今回はその両端が0という特別な場合のようです。単射の証明は \beta (b) = 0としたときの bを図式をぐるぐるしながら計算していくんだろうな～という証明でしたが、全射の証明は \beta (b) = b'としたときの bを考えるというよりも、 b'を引きまわして bを構築していたので最初混乱しました。

T1.18は、 A_1 \overset{f}{\rightarrow} B \overset{g}{\rightarrow} A_2がある条件を満たすとき、 B \cong A_1 \oplus A_2になると言っています（逆も成り立つ）。証明は先の短5項補題を用いていて、左右の縦に伸びる射が恒等射なのでうまいこと可換図式になる写像を作ることで一瞬で証明しています。すごいですね。
（20220625追記：今見ると内容うすいな…。それはさておき、完全列であっても分裂するとは限らないことを注意します。明らかに fが単射だったり gが全射ならばそれぞれ左逆写像・右逆写像（こちらはAC使用）が作れますが、これが加群準同型になるとは限らないということです。すなわち 0 \to \mathbb{Z} \overset{\times 2}{\to} \mathbb{Z} \to Z_2 \to 0は逆写像が準同型にはなりません。）

アーベル群の直和は積と余積の両方の力を兼ね備えててとても力強いと思いました。
ところで2章では群の直積分解を考えましたが、今回は直和分解ですね。直和は加法群についての弱直積なのでどっちでもいいのかもしれませんが、圏だと積と余積でまあまあ見た目が違うように思います。「分解」と言った場合、積と余積どちらの気持ちが強いのか気になるのですが、どこかに載ってませんかね…。

驚きのふんわり感ですが許してね！

明日も頑張ります。