Hungerford4章読む（12/9）

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」9日目の記事です。

今日はT3.5まで読みました。3節は図式が多いですね。かしこくなった気分になれるのでいいのですが、書くのが大変ですね…。図式の書き方を検索したのですが理解できなかったので、今回はスペースで無理やり調整して書きました。

D3.1は射影的加群の定義です。 $R$ 加群 $P$ が射影的加群とは、

$\quad \quad P \\ \quad \quad \downarrow f \\ A \stackrel{g}{\twoheadrightarrow} B \to 0$

のような図式が任意に与えられたとき、射 $h: P \to A$ が存在して、 $g h = f$ となるものを言います。この $h$ は唯一じゃなくてもいいようです。

これは単位的とは限らない一般の場合の話でしたが、特に単位的環 $R$ 上の単位的加群 $P$ を考えるときは、 $A, B$ も単位的加群だけを考えればいいらしいです。これは $A = A_1 \oplus A_2 , A_1 = \lbrace 1_R a | a \in A \rbrace , A_2 = \lbrace a \in A | 1_R a = 0 \rbrace$ と分解すると、 $A_1$ は単位的かつ $R A_2 = 0$ となり（ $B$ も同様）、雑に言うと準同型によって単位的な成分は単位的な成分へ、それ以外はそれ以外へ移ることから導くことができます。

定義は得ましたが、どうしてこれが自由加群の拡張版となるのかどうかさっぱりわかりません。続きを読みます。

まずT3.2で自由加群ならば射影的であることを証明しています。単位的加群について書いてますが、証明は普遍性しか使っていないので、注意にある通り一般の自由加群で成立します。任意の加群がある自由加群の像であることを合わせると、任意の加群は射影的加群からの像と言えます。

T3.4は、 $R$ 加群 $P$ が射影的であることと、任意の短完全列 $0 \to A \stackrel{f}{\to} B \stackrel{g}{\to} P \to 0$ が分裂し $B \cong A \oplus P$ となることと、（単位的とは限らない）自由加群 $F$ と $R$ 加群 $K$ が存在して $F \cong K \oplus P$ となること、の3つが同値だと言っています。
証明を読むと、まず $P$ が射影的なとき、全射 $B \stackrel{g}{\twoheadrightarrow} P$ として射影加群の図式を考えることで $B \cong A \oplus P$ を得ています。3番目から1番目は、仮定から標準射影・入射の関係 $F \cong K \oplus P \rightleftarrows P$ 、さらに $F$ が射影的なことを用いて計算すると導けます。
自由加群から射影加群への全射を考えると3番目は2番目の特殊例にしか見えませんが、 $B$ について射影的や自由などの性質は言えないのでしょうか…。
例を見ると、 $Z_6$ 加群について $Z_6 \cong Z_2 \oplus Z_3$ となるようなので、 $Z_2, Z_3$ は $Z_6$ の射影加群となりますが、これらは自由 $Z_6$ 加群ではありません。そういえば3番目の定理を $K$ から見ると $K$ も射影加群となるので、自由加群は射影加群の直和で書けそうですね。