Hungerford4章読む（12/22）

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」20日目の記事です。記号の量がどんどん膨らんできてTeXがおそろしいことになってきた…。

しばらく前回導入したテンソル積についての命題が続きます２

T5.7は、単位的環 $R$ と単位的 $R$ 加群 $A_R , {}_R B$ について、 $R$ 加群の同型 $A {\otimes}_R R \cong A , R {\otimes}_R B \cong B$ が成立することを言っています。 $R$ は $R-R$ 加群になるので、左辺が $R$ 加群になることはT5.5よりわかります。 $(r,b) \mapsto rb$ が平衡写像であることを確認すると、テンソル積の普遍性よりアーベル群の準同型 $r \otimes b \mapsto rb$ が誘導され、これが左加群準同型であることもすぐにわかります。あとは逆写像を $b \mapsto 1_R \otimes b$ のように作ればいいです。

次に、テンソル積の結合法則のようなものを考えます。環 $R,S$ と加群 $A_R , {}_R B_S , {}_S C$ に対して、 $A {\otimes}_R B$ は右 $S$ 加群、 $B {\otimes}_S C$ は左 $R$ 加群なので、 $(A {\otimes}_R B) {\otimes}_S C , A {\otimes}_R (B {\otimes}_S C)$ がそれぞれ定義でき、これらの間にアーベル群の同型が存在します（T5.8）。したがって単に $A {\otimes}_R B {\otimes}_S C$ と書くことができ、さらにn重のテンソル積を環 $R_1 , ... , R_n$ と加群 $A_{R_1}^1 , {}_{R_1} A_{R_2}^2 , ... , {}_{R_n} A^{n+1}$ に対して $A^1 {\otimes}_{R_1} A^2 {\otimes}_{R_2} ... {\otimes}_{R_n} A^{n+1}$ と定義できます。これらもD5.1と同様に $A^1 \times ... \times A^{n+1}$ からの平衡写像の圏における普遍対象で定義できるという演習がありますが、ぱっと見ただけでめんどくさそうだったので飛ばします。
T5.8の証明ですが、まず $(A {\otimes}_R B) {\otimes}_S C$ が $(a \otimes b) \otimes c$ の形の元で生成されることを、テンソル積の定義に従って順番に展開していくことで示します。同様に $A {\otimes}_R (B {\otimes}_S C)$ は $a \otimes (b \otimes c)$ の線形結合で書けます。テンソル積の写像を作るために $S$ 平衡写像 $(A {\otimes}_R B) \times C \to A {\otimes}_R (B {\otimes}_S C)$ を $({\sum}_{i=1}^n a_i \otimes b_i , c) \mapsto {\sum}_{i=1}^n (a_i \otimes (b_i \otimes c) )$ として定義します。テンソル積の普遍性よりアーベル群の準同型 $\alpha : (A {\otimes}_R B) {\otimes}_S C \to A {\otimes}_R (B {\otimes}_S C) , (a \otimes b) \otimes c \mapsto a \otimes (b \otimes c)$ が定義できます。同様に $\beta : A {\otimes}_R (B {\otimes}_S C) \to (A {\otimes}_R B) {\otimes}_S C , a \otimes (b \otimes c) \mapsto (a \otimes b) \otimes c$ も導けて、これらが互いに逆写像となります。

T5.9で今度は分配法則のようなものが示されます。環 $R$ 、右 $R$ 加群 $A , \lbrace A_i | i \in I \rbrace$ 、左 $R$ 加群 $B , \lbrace B_j | j \in J \rbrace$ に対して、アーベル群の同型 $({\sum}_{i \in I} A_i ) {\otimes}_R B \cong {\sum}_{i \in I} (A_i {\otimes}_R B)$ と $A {\otimes}_R ({\sum}_{j \in J} B_j ) \cong {\sum}_{j \in J} (A {\otimes}_R B_j)$ が存在します。
加群の直和 $({\sum}_{i \in I} A_i )$ に対して自然な入射 ${\iota}_k$ と自然な射影 ${\pi}_k$ が存在します。準同型 $\alpha : {\sum}_{i \in I} (A_i {\otimes}_R B) \to ({\sum}_{i \in I} A_i ) {\otimes}_R B$ は、射の族 ${\iota}_k \otimes 1_B : (A_k {\otimes}_R B) \to ({\sum}_{i \in I} A_i ) {\otimes}_R B$ を用いて、 $\alpha ({\sum}_{i \in I} (a_i {\otimes} b) ) \stackrel{直和の普遍性}{=} {\sum}_{i \in I} ({\iota}_i (a_i) {\otimes} b) \stackrel{テンソル積の性質}{=} {\sum}_{i \in I} ({\iota}_i (a_i) ) {\otimes} b$ として作れます。逆方向の準同型 $\beta : ({\sum}_{i \in I} A_i ) {\otimes}_R B \to {\sum}_{i \in I} (A_i {\otimes}_R B)$ はテンソル積の普遍性を用いて、すなわち平衡写像 $(u,b) \mapsto {\sum}_{i \in I} ({\pi}_i (u) \otimes b)$ から $\beta (u \otimes b) = {\sum}_{i \in I} ({\pi}_i (u) \otimes b)$ を誘導します。この平衡写像はいったん射影したあと入射で戻す形になっていますね。
あとは $\alpha , \beta$ が互いに逆写像となることを言えばいいです。 $({\sum}_{i \in I} A_i ) {\otimes}_R B$ の元が $({\sum}_{i \in I} {\iota}_i {\pi}_i u ) {\otimes} b$ 、 ${\sum}_{i \in I} (A_i {\otimes}_R B)$ の元が自然な入射 ${\iota}_j ^* : A_j {\otimes}_R B \to {\sum}_{i \in I} (A_i {\otimes}_R B)$ を用いて ${\iota}_j ^* (a_j \otimes b) = {\sum}_{i \in I} ({\pi}_i {\iota}_j (a_j) {\otimes} b)$ からそれぞれ生成されることに注意して計算すればできるようです。成分の計算において、本文では添え字の範囲を $i \in I_0 , a_i \neq 0$ のように非零に限定して有限個の和であることを強調していたことを注記しておきます。

T5.10はテンソル積のAdjoint Associativityという性質についてです。日本語だと随伴結合法則？検索するとテンソル積とHomの随伴性などと言われているようです。環 $R,S$ と加群 $A_R , _R B_S , C_S$ に対してアーベル群の同型 $\alpha : \mathrm{Hom}_S (A {\otimes}_R B ,C) \cong \mathrm{Hom}_R (A, \mathrm{Hom}_S (B,C) )$ が存在し、任意の $f : A {\otimes}_R B \to C$ に対して $( (\alpha f)(a) )(b) = f(a \otimes b)$ が成り立ちます。関数適用の結合がテンソル積に置き換わるといった感じでしょうか。
この式のHomはともに右加群準同型の集合です。特に $\mathrm{Hom}_S (B,C)$ は右作用 $(gr)(b)=g(rb)$ によって右加群となります。証明は素直に、まず問題文に沿った $\alpha$ が構築できて、アーベル群の準同型であることを言ってから、逆関数 $\beta$ を $(\beta g)(a \otimes b) = (g(a) )(b)$ として定義すればいいです。 $\beta g$ の定義は平衡写像を作ってから誘導すればよくて、T5.5を用いて右 $S$ 加群準同型だと言うことができます。

単位的・単位的でない・アーベル群・加群などが完全に混乱してきた…。

明日も頑張ります。