Hungerford7章読む（12/6）

これは「今年中にHungerford7章読むぞ Advent Calendar 2022」5日目の記事です。
昨日は寝てました。一日40時間くらい欲しい…。どこかで取り返せたらいいですね。

D2.2で導入された行階数・列階数が等しいことを示します（C2.5）。えいえいおー
T2.3で行列の階数は対応する準同型の階数と等しいことを、P1.10で準同型の行列は双対な準同型の行列になることをすでに知ってるので、まず準同型の階数から攻めていくようです。P2.4は、可除環 $D$ 上の有限次元ベクトル空間間の準同型 $f: E \to F$ の階数が双対写像 $\bar{f} : F ^{*} \to E ^{*}$ の階数と等しいと言っています。これは4章の範囲ですね。階数・退化次数の定理（C4.2.14）より $E$ の基底を具体的に置いて $\mathrm{Im} f$ の基底を計算すると、T4.2.4により $F$ の基底を $\mathrm{Im} f$ の基底に適当に元を加えることで作ることができます。双対写像をT4.4.11(ii)を見ながら作ってその像を計算すると、もとの写像の像に移る $E$ の基底の双対が現れるので証明できます*1。