Hungerford4章読む（12/20）

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」18日目の記事です。もうカレンダーの体をなしていませんが、実はタイトルは「今年中」なので6日の猶予があったんですね。やった～！

5節はテンソル積です。テンソルという語は色んなところで目にはしますが、ベクトルが入れ子になったやつ・行列の多次元版、程度の認識しかありません。しかし今から見ていくテンソル積とは、 $R$ 上の加群 $A_R$ と ${}_R B$ から得られるアーベル群 $A {\otimes}_R B$ のことであり、関係するのかどうかはわかりません。読んでいきます。

$R$ 上の加群 $A_R$ と ${}_R B$ とアーベル群 $C$ に対して、平衡（線形）写像 $f : A \times B \to C$ を以下の条件を満たす関数として定義します；

$f(a_1 + a_2 , b) = f(a_1 , b) + f(a_2 , b)$
$f(a , b_1 + b_2) = f(a , b_1) + f(a , b_2)$
$f(ar, b) = f(a, rb)$

平衡写像を対象として、射を群準同型 $h$ であり $f : A \times B \to C$ と $g : A \times B \to D$ に対して $g = hf$ となるものとした圏 $\mathfrak{M} (A,B)$ を定義します。関数の合成なので結合律も単位律も大丈夫そうですね。テンソル積はこの圏における普遍対象となるらしいのですが、その前にまずテンソル積を定義しなければなりません（D5.1）。

$R$ 上の加群 $A_R$ と ${}_R B$ に対して、まず $F$ を集合 $A \times B$ （加群ではない！）上の自由アーベル群とします。 $K \lt F$ を次の3つの形の元が生成する群とします。

$(a+a',b) - (a,b) - (a',b)$ （関係 $(a+a',b) = (a,b) + (a',b)$ に対応）
$(a,b+b') - (a,b) - (a,b')$ （関係 $(a,b+b') = (a,b) + (a,b')$ に対応）
$(ar,b) - (a,rb)$ （関係 $(ar,b) = (a,rb)$ に対応）

商群 $F/K$ 、すなわち上記の関係で定義されるアーベル群のことを $A,B$ のテンソル積 $A {\otimes}_R B$ と定義します。 $(a,b)+K=a \otimes b$ とすると、先ほどの関係はそれぞれ $(a+a') \otimes b = a \otimes b + a' \otimes b, a \otimes (b+b') = a \otimes b + a \otimes b', ar \otimes b = a \otimes rb$ に対応します。これらから $n (a \otimes b)=(na) \otimes b=a \otimes (nb)$ や、特に $a \otimes 0 = 0 \otimes b = 0 \otimes 0 = 0$ が言えそうです。

$A {\otimes}_R B$ の元は有限和 $\sum_{i=1}^r n_i (a_i \otimes b_i)$ で書けますが、例えば一般の $a_1 \otimes b_1 + a_2 \otimes b_2$ を取ってくれば、これは $a \otimes b$ の形で書けるとは限らないと思われます。また3番目の関係からわかるように、 $a \otimes b = a_1 \otimes b_1$ は $a=a_1 , b=b_1$ を意味せず、 $A {\otimes}_R B = 0$ となる $A \neq 0, B \neq 0$ が存在します。 $Z_2 \otimes \mathbb{Q}$ がその例で、 $(a, m/n)=(a,2m/2n)=(a2,m/2n)=0$ からわかります。

$i: A \times B \to A {\otimes}_R B , (a,b) \mapsto a \otimes b$ は明らかに平衡写像ですが、これを自然な平衡写像といいます。この $i$ が $\mathfrak{M} (A,B)$ において普遍になります（T5.2）。すなわち $A {\otimes}_R B$ が、対象がアーベル群、射が平衡写像となるような圏において $A \times B$ 上の自由対象になるということです。
証明ですが、まず $F$ が自由アーベル群であることから $A \times B \stackrel{g}{\to} C$ に対して $g_1 : F \to C$ が唯一存在します。 $g$ が平衡写像なので $K \supset \mathrm{Ker} g_1$ となることから準同型定理によって $F/K = A {\otimes}_R B \stackrel{\bar{g}}{\to} C, g = \bar{g} i$ が唯一存在することが言えます。

C5.3でテンソル積の間の写像を定義します。 $R$ 加群 $A_R , A'_R , {}_R B , {}_R B'$ について加群の準同型 $f: A \to A' , g: B \to B'$ が存在する時、唯一の準同型 $f \otimes g : A {\otimes}_R B \to A' {\otimes}_R B' , a \otimes b \mapsto f(a) \otimes g(b)$ が存在します。これは $A \times B \stackrel{h}{\to} A' {\otimes}_R B' , h(a,b)=(f(a),g(b))$ を考えてから、 $A {\otimes}_R B$ の普遍性により一意な $\bar{h} = f \otimes g$ を導きます。
写像の合成は $(f' \otimes g')(f \otimes g)=(f'f \otimes g'g)$ であり、 $f,g$ に逆写像が存在する（同型）のとき $f \otimes g$ の逆写像は $f^{-1} \otimes g^{-1}$ となります。

（20220716追記：ここで出てきた $f \otimes g \in \mathrm{Hom} (A \otimes B , A' \otimes B')$ と、 $f \otimes g \in \mathrm{Hom} (A, A') \otimes \mathrm{Hom} (B, B')$ はどういう関係があるのでしょうか（演習4.5.6）。これについては思ったより長くなったので記事を分けます）

明日も頑張ります。