これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」3日目の記事です。
まだ12/3の28時なのでセーフ！
今日はTheorem1.15まで読みました。証明？大体アーベル群だから許して
加群の族
の直積と直和を定義して、これが圏の積・余積となることを言っています。ここは証明が載っていて、アーベル群で存在することは既知として写像が加群の準同型になることを言えばいいらしいです。昨日飛ばしたところも同様に、構成したものが加群や加群の準同型になることを書けばよさそうですね。
T1.14では、ある加群
が加群の直和
と同型になることと、いい感じの射影と入射が存在することと同値になることを言っています。アーベル群版が演習1.8.3にありますが、ここは本文にも証明がありますね。クルルシュミット（T.2.3.8）の証明で似たような射影と入射の組を作ったので、非可換群でもそのような射影と入射の組は作ることができますが、逆にそのような射影と入射の組が存在するときに
が作れるとは言えない（多分）ことに注意します。
さらにT1.15で内部直和が導入されて、これが（外部）直和と同型であることが示されます。その後、直和の内部と外部は区別しない話が（群のときと同様に）書かれていますが、この混同がかなり苦手です…。
と書いたときに
がの正規部分群と言っていいかどうかがわからなくなるというか…
親知らずの抜歯、かなり脳がガンガン揺らされてつらかった…
明日も頑張ります。
