Hungerford4章読む（12/10）

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」10日目の記事です。昨日知ったのですが、アドカレは（子供が起きる）朝までに投稿しないとだめらしく、どうやら今の状態はほぼ丸一日遅刻しているようです…。

圏の（対象と射で決まる）概念は射を反転させることで双対が得られる。このひっくり返した射のことも双対と呼ぶ。†デュアル†、かっこいいですね。
というわけで、今日は射影的の双対概念として単射的加群の勉強をしました。

積には余積という双対が存在するけど、自由加群の双対は存在しないようです（加群以外はどうなのかな）。考えてみると、基底 $X$ が $\lbrace a \rbrace$ の場合は「余自由加群 $F$ 」として $\lbrace 0 \rbrace$ が存在しますが、 $|X| > 1$ の場合は、像が $\lbrace x \neq a \rbrace$ となる $A$ から $X$ への写像に対しては、可換となる準同型 $A \to F$ が得られない気がします（演習3.13では係数環からの準同型を考えてるけどこれでもいいよね？）。

以下では単位的環上の単位的加群を考えます。

L3.8で、単射的加群 $J$ が係数環 $R$ のイデアル $L$ からの $R$ 加群準同型によって特徴づけられることが言われます。ちゃんと書くと、準同型 $f: L \to J$ と包含写像 $i: L \hookrightarrow R$ が存在する時に、「 $f$ を拡張した」準同型 $h: R \to J$ が存在して $hi=f$ となることを言っています。これは $J$ が単射的ならば定義から明らかに存在することが言ます。
逆も成立し、このような写像 $h$ が存在する時 $J$ は単射的ですが、この証明はZornの補題を用います。

$0 \to A \stackrel{g}{\hookrightarrow} B \\ \quad \quad \downarrow f \\ \quad \quad J$

証明の流れは、写像 $\mathrm{Im} g \to J$ の定義域を拡張してZornによって極大な $h: H \to J$ を得てから、最後に $H = B$ を得る形です。つまり $H \neq B$ のとき $b \in B - H$ が存在しますが、 $b$ が生成する加群 $Rb$ を定義域に加えた $H + Rb \to J$ が作れてしまうことを言います。
左イデアル $L = \lbrace r \in R | rb \in H \rbrace$ とすると、仮定により $L \to J$ （ $H$ に入れてから $h$ で $J$ に送る準同型）を拡張した $k: R \to J$ が得られます。 $H + Rb \to J$ を $h + rb \mapsto h(a) + k(r)$ とすると、計算によってwell-definedなことが確かめられるので、最後に準同型を確かめれば証明が完了します。
ところでこの証明では $k(r)$ とせずに $c = k(1_R)$ として $rc$ を考えています。これは、単位的環 $R$ 自身を $R$ 加群とみなすと加群準同型 $k: R \to J, r,1_R \in R$ について、 $f(r) (= 1_R f(r) = f(1_R r)) = f(r 1_R) = r f(1_R)$ となる（括弧内は単位的加群のみ）ことからわかります。 $1_R$ の行先が加群準同型を決めてるのは面白いですね。

一気に3節を終わりたかったですが、力尽きましたので残りは明日に回します。

明日も頑張ります。