Hungerford4章読む(12/13)

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」13日目の記事です。13日目です。


3節の終わりから急にほむほむしていましたが、4節の前半ではその \mathrm{Hom}について調べていくようです。

 \mathrm{Hom}_R(A,B) R加群準同型 f: A \to Bの集合と定義します。これが和についてアーベル群であり、関数の合成の積に対して分配法則が成り立つのは、アーベル群の準同型の場合と同じ計算をしてわかります(特別な場合として自己準同型ならば積が閉じるので環になる)。 R = \mathbb{Z}の場合、つまりアーベル群の準同型はよく出てくるので、 \mathrm{Hom}_\mathbb{Z} \mathrm{Hom}と省略します。

 R上の加群 A,B,C,D加群準同型 \phi : C \to A \psi : B \to Dがあるとき、任意の f : A \to Bに対して関数の合成によって f \mapsto \psi f \phiとすることができます。この写像 \theta : \mathrm{Hom}_R(A,B) \to \mathrm{Hom}_R(C,D)は(well-definedな)アーベル群の準同型であることが計算することでわかります。
 \phi , \psiに誘導されるこの \mathbb{Z}加群準同型を \theta = \mathrm{Hom}(\phi , \psi)と書きます(この記号付け、準同型の集合と混同するんですが、なぜ…)。写像の合成は \phi _ 1 : E \to C , \phi _ 2 : C \to A , \psi _ 1 : B \to D , \psi _ 2 : D \to Fとして、 \mathrm{Hom}(\phi _ 1 , \psi _ 2) \mathrm{Hom}(\phi _ 2 , \psi _ 1) = \mathrm{Hom}(\phi _ 2 \phi _ 1 , \psi _ 2 , \psi _ 1) : \mathrm{Hom}_R(A,B) \to \mathrm{Hom}_R(E,F)と定義できます。この合成は結合的っぽいですね。

特別な具体例を挙げて今日はここまでにします。少し短くて、25日に収まるのか怪しくなりますが…


序盤に比べると書く量がすごく増えている…。当初はさらさらっと流す予定だったのに今となっては序盤のアドカレの頼りなさがすごい。

明日も頑張ります。