Homのテンソル積と、テンソル積間のHomの違いについて

Hungerford4章読む（12/20）で出た、加群準同型のテンソル積について考えます。そこでは $R$ 加群 $A_R , A'_R , _R B , _R B'$ に対して、 $\mathrm{Hom} (A \otimes B , A' \otimes B')$ と、 $\mathrm{Hom} (A, A') \otimes \mathrm{Hom} (B, B')$ の違いが問題となってました。

まず、 $(f, g) \in \mathrm{Hom} (A, A') \times \mathrm{Hom} (B, B')$ とすると、 $A \times B$ からの平衡写像 $(a,b) \overset{(f,g)}{\mapsto} (f(a),g(b)) \overset{canonical}{\mapsto} f(a) \otimes g(b)$ が存在するので、 $A \otimes B$ の普遍性から $f \otimes g : a \otimes b \mapsto f(a) \otimes g(b)$ が一意に得られます。この対応 $(f, g) \mapsto f \otimes g$ が平衡写像になることを確認することで、 $\mathrm{Hom} (A, A') \otimes \mathrm{Hom} (B, B')$ の普遍性から、アーベル群準同型 $\mathrm{Hom} (A, A') \otimes \mathrm{Hom} (B, B') \to \mathrm{Hom} (A \otimes B , A' \otimes B')$ が得られます。

$A, B$ が自由加群の場合について考察を進めます。自由加群からの写像は基底を与えることで定まるので、 $\mathrm{Hom} (A, A')$ の代わりに $A$ の基底 $I$ を用いて $A' ^I$ を考えます。 $\mathrm{Hom} (A \otimes B, A' \otimes B')$ の代わりは、まず $\mathrm{MidLin} (A \times B, A' \otimes B')$ を考えて、自由加群の直和は自由なことから、先と同様に $B$ の基底 $J$ も用いて $(A' \otimes B') ^{I \times J}$ です（基底からの行先を決めれば平衡写像は定まる）。したがって $A' ^I \otimes B' ^J \to (A' \otimes B') ^{I \times J}$ を考えればいいのですが、これは ${\prod}_{i \in I} A' \otimes {\prod}_{j \in J} B' \to {\prod}_{i \in I, j \in J} A' \otimes B'$ を調べることに相当します。

基底 $I, J$ が有限の場合は、T5.9を2回使うことで ${\sum}_{i \in I} A' \otimes {\sum}_{j \in J} B' \cong {\sum}_{i \in I, j \in J} A' \otimes B'$ が得られ、つまり同型となります。物理で行列のテンソル積を考えることがありますが、これでベクトル空間の元の意味なのか線形写像の意味なのかで不安にならずに済みますね。

基底が無限の場合はどうしましょう。T5.9では直和の入射を使って逆射を構成しているため、同型を言うのは無理そうですが単射ならば、右辺のほうが大きそうなので言えそうな気がします*1。自由加群のテンソル積 $A \otimes B$ はT5.12を見ると基底 $\lbrace i \otimes j | i \in I , j \in J$ の有限線形和で一意に書けるので、 $0 = a \otimes b$ のときそれぞれ基底に展開すると $a = 0 \ or \ b = 0$ です。このとき $u \otimes b \mapsto \lbrace \pi _i (u) \otimes b \rbrace _i$ で定義される準同型の核は0になりそうなので、これで単射であることがいえます。

ここで話が急に変わりますが、 $R$ を単位的可換環として、 $f ,g$ の値域がともに $R$ 代数 $C$ の場合を考えます。このとき、 $a \otimes b \overset{f \otimes g}{\mapsto} f(a) \otimes g(b) \overset{\pi}{\mapsto} f(a)g(b)$ です。特に $C$ が整域ならば $\pi$ は単射になります。したがって関数の積 $fg$ を $A \otimes B \to C , a \otimes b \mapsto f(a)g(b)$ として、 $f \otimes g \in \mathrm{Hom} (A \otimes B , C \otimes C)$ と同一視することができます。
上の段落で述べたようにこの同一視は $\mathrm{Hom} (A, C) \otimes \mathrm{Hom} (B, C)$ でも行えます。線形変換のテンソル積（ $\mathrm{Hom} (A, C) \otimes \mathrm{Hom} (B, C)$ のほう）は、Wavelet変換や機械学習などの分野で出てきて、そこでは $f : A \to C$ と $g : B \to C$ のテンソル積を $f \otimes g = fg$ と「定義」しますが、これはおそらくこういう流れで正当化されるのではないかと思います。