Hungerford4章読む（12/12）その1

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」11日目の記事です。完全に遅刻ですね。12日目の分も今日中に書きます…。

今更だけど、本の内容と私の（誤りがたくさん入ってるだろう）考えが分離されていないので、いないとは思うけど読む人は注意してください。

以下ではアーベル群であることと（単位的） $\mathbb{Z}$ 加群であることは同じであることに注意します。

「アーベル群」 $D$ が可除であるとは、任意の $y \in D, 0 \neq n \in \mathbb{Z}$ に対してある $x \in D$ が存在して $nx = y$ となることを言います。関連する例がいくつか挙げられています。

$\mathbb{Q}$ は可除（演習になっているがほぼ明らかでは？）。
0でない有限アーベル群は可除にはならない（ $n$ 倍する自己準同型が全て単射でなければならないが、各元は有限の位数を持つため、どこかで非自明な核をもつものが存在する）
0でない自由アーベル群は可除にはならない（各元は基底の線形和 $n_1 x_1 + ... + n_k x_k$ と書け、 $n_1 , ... , n_k$ の最大公約数より大きい $n$ を考える）。したがって $\mathbb{Z}$ は可除でない。
可除な群からの準同型像は、可除である（準同型の定義を使う）。
各アーベル群が可除であることとその直和が可除であることは同値（ $\Leftarrow$ は射影の像を考える。 $\Rightarrow$ は成分を書き下せばいい。実は（弱でない）一般の直積の場合でも成立して、下のL3.9によってまず単射的 $\mathbb{Z}$ 加群であることを考えてから、P3.7でその直積も単射的であることを通して、もう一度L3.9を用いると示せる。）

L3.9でアーベル群 $D$ が可除であることと $D$ が単射的 $\mathbb{Z}$ 加群であることが同値なことが示されます。 $\Rightarrow$ は $\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}$ 加群への準同型 $h$ が $h(1)=x$ を用いて $h(n)=nx$ と書けることを使います。 $\lbrace n \rbrace$ 上の自由アーベル群 $\langle n \rangle$ を考えると、任意の $y \in D$ に対して準同型 $f: n \mapsto y$ を唯一作れます。 $\langle n \rangle \subset \mathbb{Z}$ と $D$ が単射的なことから、ある $h$ が存在して $y = f(n) = h(n) = n f(1) = nx$ となります。 $\Leftarrow$ はL3.8を使います。まず $\mathbb{Z}$ の左イデアルは、部分群が $n \mathbb{Z} = \langle n \rangle$ のみなことを考えれば、これは $\langle n \rangle$ のみなので、準同型 $f: \langle n \rangle \to D$ を考えればよいです。 $f(n) = n f(1) = nx$ とすると $D$ の可除性から $x \in D$ となるので、 $h: \mathbb{Z} \to D, 1 \mapsto x$ と定義することで $f$ の拡張を得ることができます。

任意の可除なアーベル群は複数の $\mathbb{Q}$ といくつかの $p$ による $Z(p^{\infty})$ の直和で書けるらしく、演習問題となっていますが無視します。

任意のアーベル群 $A$ は自由 $\mathbb{Z}$ 加群 $F$ の準同型像なので、 $F \to A$ の核 $K$ として $A \cong F/K$ となります。 $F$ は $\mathbb{Z}$ の直和で、 $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ なことから、 $F$ は $\mathbb{Q}$ の直和 $D$ に（アーベル群の単射準同型 $f$ によって）埋め込まれます。C1.5.8を用いると $F/K \stackrel{\bar{f}}{\cong} f(F)/f(K)$ が誘導され、 $A \cong F/K \cong f(F)/f(K) \subset D/f(K)$ が得られます。上の例から $D$ は可除なことがわかっているので、その射影 $D/f(K)$ は可除であることから、任意のアーベル群 $A$ が可除アーベル群に埋め込まれることが証明されます（L3.10）。