Hungerford4章読む（12/8）

Hungerford4章

これは「今年中にHungerford4章読むぞ Advent Calendar 2021」8日目の記事です。
一回仮眠して0時回ってからやるのが癖になっててよくないですね…。

今日は4.2の終わりまで読みました。以下では可除環上の自由加群、すなわちベクトル空間を考えます。

ベクトル空間 Vの次元は基底の濃度であること、基底であることはそれが生成する加群と Vが一致してかつ生成集合が線形独立であることを書いていけば乗り切れそうですね。係数で割り算ができると気軽に括り出したり移項して基底を取り出せるので嬉しいですね。

T2.16は5章で使う定理らしい（読む日は来るのかな…）です。可除環 R,S,R \subset Sのとき、 Sは R上のベクトル空間ですが、このベクトル空間の次元 {\mathrm{dim}}_R Sの掛け算について述べています。
この計算、群の指数っぽいですね。実際 s \in Sを固定して R sは基底 sの Sの部分空間で、線形独立な s_i , s_jについて R s_i , R s_jの共通部分は 0しかないので（少なくとも Sが有限次元ならばC2.15を使って） {\mathrm{dim}}_R Sは Sにおける Rの互いに異なる右剰余類 R sの数になります。無限次元ではどうなるかな…誰か教えて。

明日も頑張ります。